В Польше два Конституционных трибунала, и каждый считает другой ненастоящим. Сто лет назад два польских логика объяснили, почему так бывает. Один придумал третье значение истины, другой доказал, что система не может сама себя удостоверить. Первый материал нашего спецпроекта «Кто сторожит сторожей».
В пятницу, 30 октября, в Варшаве случилось то, что обычно случается в учебниках логики, а не в новостях.
Судья Анна Корвин-Пиотровская объявила, что председатель Конституционного трибунала Богдан Свенчковский и его заместитель отстранены. Сам трибунал в своём официальном аккаунте ответил, что Корвин-Пиотровская вообще не судья: президент не привёл её к присяге. И назвал происходящее государственным переворотом. Правительство Туска говорит о восстановлении верховенства права. У входа в здание встала полиция, президент Навроцкий развернул самолёт на полпути в Сенегал, а сайт трибунала к вечеру перестал открываться.
Получилось так: одну версию трибунала признают правительство и парламент, другую - президент и нынешнее руководство суда. Каждое решение одного трибунала для другого ничтожно.
Мы не будем решать, кто прав. Нам интереснее другое: этот спор в Польше уже однажды разобрали. Только не юристы, а логики. Сто лет назад, в той же Варшаве.
Учитель
Ян Лукасевич родился в 1878 году во Львове, тогда это была Австро-Венгрия. Учился у философа Казимира Твардовского, который собрал вокруг себя целое поколение людей, помешанных на точности. Из них выросла львовско-варшавская школа логики, одна из сильнейших в мире между двумя войнами.
Лукасевич был не кабинетным человеком: в 1919 году он министр просвещения в правительстве Падеревского, потом дважды ректор Варшавского университета. Но в историю он вошёл одним вопросом, который не давал покоя ещё Аристотелю.
Завтра будет морское сражение. Это высказывание сегодня истинно или ложно?
Если истинно, то будущее уже предрешено, и никакой свободы нет. Если ложно, тоже предрешено, только в другую сторону. Аристотель с этим мучился, средневековые схоласты мучились, а Лукасевич около 1920 года просто добавил третье значение. Кроме «истинно» и «ложно» есть «неопределённо». Высказывание о завтрашнем сражении сегодня не истинно и не ложно. Оно ждёт.
Так появилась трёхзначная логика. Из неё и её наследниц потом выросла нечёткая логика, которая сидит сейчас в стиральных машинах, автофокусе камер и метро в японском Сендае.
Как это работает. Обычная логика знает два значения: 1 - «истинно» и 0 - «ложно». Лукасевич добавил между ними ½, «пока не известно», и расписал правила, как с этим значением рассуждать: что получится, если одно утверждение истинно, а другое ещё не определено (таблица ниже). Его последователи пошли дальше и разрешили любое число между 0 и 1. Так получилась нечёткая логика: она работает не с «да» и «нет», а со степенью «насколько да». Стиральной машине не нужно решать, грязное бельё или чистое: датчик сообщает «грязное на 0,7», и машина плавно подбирает воду и время стирки. Поезд в Сендае тормозит не рывком, а по степени «насколько близко станция».
| p → q | 0 | ½ | 1 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| ½ | ½ | 1 | 1 |
| 1 | 0 | ½ | 1 |
Посмотрите на польские новости этой логикой. Решение трибунала сегодня - это высказывание со значением ½. Оно не законно и не незаконно. Оно ждёт, кто окажется сильнее, чей сайт откроется и чей пропуск сработает на входе.
Польская запись
У Лукасевича была ещё одна идея, попроще с виду, но с куда более длинной судьбой.
Ему мешали скобки. В логике их ставят в формулы десятками, и в них легко запутаться. Лукасевич предложил писать знак операции перед аргументами: не «2 + 3», а «+ 2 3». Тогда скобки не нужны вовсе, порядок действий однозначен сам собой.
Выговорить фамилию «Лукасевич» иностранцы не могли, поэтому запись назвали просто «польской».
Дальше началось самое интересное. В 1950-х инженеры заметили, что если поставить знак не перед, а после аргументов («2 3 +»), то так идеально считает машина. Кладёшь числа в стопку, встречаешь знак, снимаешь два верхних, кладёшь результат. Это назвали обратной польской записью.
На ней работал калькулятор HP-35 1972 года, первый научный калькулятор, который помещался в карман. Инженеры десятилетиями отказывались менять HP на что-то другое именно из-за неё. На этой идее построены языки Forth и PostScript, на котором печатал каждый лазерный принтер. Так устроены виртуальные машины Java и WebAssembly.
И так устроена виртуальная машина Ethereum. Каждый смарт-контракт в блокчейне исполняется как стопка чисел и знаков после них. Польская запись, придуманная, чтобы избавить логиков от скобок, сейчас считает миллиарды долларов. К этому мостику мы ещё вернёмся в материале о Бутерине.
Ученик
Альфред Тарский родился в 1901 году в Варшаве под фамилией Тейтельбаум. Деталь для нашего спецпроекта: родился он подданным Российской империи. Варшава тогда была столицей Царства Польского, того самого, которому Александр I в 1815 году даровал конституцию. Как та конституция связана с сегодняшним польским кризисом, мы рассказываем в третьем материале спецпроекта.
В 1923 году он вместе с братом сменил фамилию Тейтельбаум на Тарский. Новую фамилию выбрали такую, чтобы звучала по-польски, а заодно приняли католичество, хотя Альфред был атеистом. Тарский считал себя польским патриотом и хотел, чтобы это было слышно даже в имени. А ещё с еврейской фамилией академическая карьера в Польше была почти закрыта. Даже став одним из лучших логиков мира, профессуры на родине он так и не получил и годами преподавал математику в варшавской гимназии.
Именно в эти годы он сделал главное. В 1924 году вместе со Стефаном Банахом доказал парадокс, который до сих пор сводит с ума студентов: шар можно разрезать всего на пять частей и сложить из них два таких же шара. Разгадка в том, что эти части нельзя вырезать никаким ножом. Это бесконечно рассыпчатые облака точек, настолько причудливые, что объёма у них нет вообще. Правило «объём целого равен сумме объёмов частей» работает только для нормальных кусков, а про такие оно молчит. С настоящим апельсином фокус не пройдёт: это теорема о том, где кончается наша интуиция о пространстве. А в 1933 году Варшавское научное общество издало его работу «Понятие истины в языках дедуктивных наук»: около ста двадцати страниц, с которых начинается современная логическая семантика.
Вопрос там простой: что значит «высказывание истинно»? Ответ Тарского звучит как шутка. Фраза «снег белый» истинна тогда и только тогда, когда снег белый. Но за шуткой стоит теорема. Определить, что истинно в каком-то языке, можно только снаружи, на другом, более сильном языке. Изнутри не получится: система, которая пытается сама удостоверить свою истинность, неизбежно упирается в противоречие вроде «это высказывание ложно».
Кто сторожит сторожей
Теперь сложите учителя и ученика.
Лукасевич говорит: у высказывания может не быть ответа «истинно» или «ложно», только «пока неизвестно». Тарский говорит: система не может сама решить, что в ней истинно, нужен кто-то снаружи.
Конституционный трибунал и есть та самая внешняя инстанция. Он стоит над законами и говорит, какие из них истинны, то есть соответствуют конституции. Но когда спор идёт о самом трибунале, о том, какие судьи настоящие, внешней инстанции больше нет. Трибунал не может сам удостоверить свою законность: это всё равно что фраза, которая утверждает собственную истинность. Президент и парламент тоже не могут, они стороны спора.
Строго говоря, теорема Тарского про формальные языки, а не про государство, и логики нас бы поправили. Но метафора работает пугающе точно. Когда у системы кончается внешний уровень, вопрос «кто прав» переходит в третье значение Лукасевича. И остаётся там, пока его не решит что-то за пределами логики: выборы, компромисс или сила.
Римский поэт Ювенал спрашивал об этом две тысячи лет назад: кто будет сторожить самих сторожей? Польские логики сто лет назад дали на это строгий ответ: изнутри системы - никто. Утешения в нём нет, зато есть ясность: если сторожа некому проверить, спор о нём решит уже не логика.
Двое счастливчиков
Ян Лукасевич1878, Львов - 1956, Дублин
Альфред Тарский1901, Варшава - 1983, Беркли
Мерками своего века оба оказались счастливчиками.
В августе 1939 года Тарский отплыл в Америку на конференцию в Гарвард. Через несколько недель Германия напала на Польшу, и вернуться он уже не смог. Жена и двое детей пережили войну в оккупированной Польше, большая часть его семьи погибла в Холокосте. Тарский остался в США и в Беркли построил одну из главных логических школ мира. Его теорема о неподвижной точке до сих пор работает внутри компиляторов и анализаторов кода, которые проверяют программы, прежде чем их запустить.
Лукасевич в 1944 году уехал из Варшавы. Его дом сгорел во время Варшавского восстания вместе с библиотекой и рукописями. После войны он осел в Дублине, преподавал в Ирландской королевской академии и умер там в 1956 году, так и не вернувшись на родину.
Учитель придумал, что истина может быть неопределённой. Ученик доказал, что система не может удостоверить себя сама. Оба пережили войну, которая уничтожила их мир, и оба продолжили работать, только уже не в Польше. А их идеи оказались прочнее любых границ: польская запись считает в каждом блокчейне, а теорема Тарского проверяет программы, которые пишутся сегодня.
А в 2026 году Польша проверяет их идеи на себе.
